2017年春季学期新版青岛版七年级数学下学期9.4、*行线的判定、例说*行线的两种传递功能素材

发布于:2021-06-21 12:00:42

例说*行线的两种传递功能 *行线有两个方面的重要性,其一,由两*行直线被第三条直线所截,可以得出多对相 等的角,故*行线有传递角的功能;其二,由*行线分线段成比例定理,知*行线有传递线 段比的功能。下面以中招试题为例,谈谈这两大功能的应用。 一、传递角的功能 例 1 求证:等腰梯形同一底上的两个角相等(写出已知、求证、画出图形,并进行完整 的证明)。 已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC。求证:∠B=∠C。 证明:欲证∠B=∠C,在图形中很难找出这两个角之间的关系。考虑到 AD∥BC,可利 用*行线构造出一个角来传递∠B 或∠C。过 D 作 DE∥AB 交 BC 于 E,则由 AD∥BE,AB∥DE, 知四边形 ABED 是*行四边形。于是 AB=DE。又因 AB=DC,可知 DE=DC,故∠DEC=∠C。 又由 DE∥AB,知∠B=∠DEC,于是∠B=∠C。 例 2 如图,已知在△ABC 中,AB=AC,D 是 AB 上一点,DE⊥BC,E 是垂足,ED 的延长 线交 CA 的延长线于 F。求证:AD=AF。 分析与简证:欲证 AD=AF,只需证∠3=∠F 即可。但证这两个角相等很难在△ADF 中 直接得到,不妨构造*行线来传递。过 A 作 AG∥FE 交 BC 于 C,则由 AG∥FE,知∠1=∠F。 下面再证∠1=∠3 即可。 由 FE⊥BC, AG∥FE, 知 AG⊥BC。 又由 AB=AC, 知∠1=∠2; 再由 AG∥FE, 知∠2=∠3, 从而∠1=∠3。于是∠3=∠F,故 AD=AF。 从这两例可以看出,在某些中招试题中,用*行线传递角是解决这类问题的关键。 二、传递线段比的功能 例 3 如图已知,正方形 ABCD 中,E 是 DC 上一点,连结 BE,作 CF⊥BE 于 P,交 AD 于 F 点,恰好 AP=AB。求证:E 为 DC 中点。 分析与简证:要证 E 是 CD 的中点,由 AP=AB,故过 A 作 AG⊥BP 交 BP 于 M,交 BC 于 G, 则由等腰三角形底边上的高也是底边上的中线,知 M 为 BP 的中点。又由 CF⊥BP,AG⊥BP, 知 AG∥CF。于是 G 是 BC 的中点。又 AG⊥BP,知∠MBG+∠BGM =90°=∠BAG+∠BGM , 因 此 ∠CBE = ∠BAG 。 又 ∠ABG = 90° = ∠BCE , AB = BC , 故 △ABG≌△BCE。而 BC=CD,G 是 BC 的中点,从而 E 是 CD 的中点。

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