高考数学总复* 第九篇 解析几何初步《第53讲 两条直线的位置关系》理(含解析) 苏教版

发布于:2021-09-20 13:15:25

2013 高考总复*江苏专用(理科) :第九篇 解析几何初步《第 53 讲 两条直线的位置关系》 (基础达标演练+综合创新备选,含解析)
A 级 基础达标演练 (时间:45 分钟 满分:80 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 1.(2011·宿迁联考)直线 l1:x-ky+1=0,l2:kx-y+1=0,则 l1∥l2 的充要条件是 ________. 1 -k 解析 由 = ≠1,得 k=-1. k -1 答案 k=-1 2.(2011·扬州调研)“直线:x+(a-1)y+1=0 与直线:ax+2y+2=0 垂直”的充要条件 是________. 2 解析 由 a+2(a-1)=0,得 a= . 3 2 答案 a= 3 3.(2011·泰州模拟)若三条直线 x+y+1=0,2x-y+8=0 和 ax+3y-5=0 共有三个不同 的交点,则实数 a 满足的条件是________. 1 解析 当三条直线交于一点时,a= ;当 x+y+1=0 与 ax+3y-5=0 *行时,a=3;当 3 1 2x-y+8=0 与 ax+3y-5=0 *行时,a=-6.故 a 满足的条件是 a≠ 且 a≠-6 且 a≠3. 3 1 答案 a≠ 且 a≠-6 且 a≠3 3 4.过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为________. 1 解析 所求直线过点 A 且与 OA 垂直时满足条件,此时 kOA=2,故求直线的斜率为- ,所以 2 1 直线方程为 y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0. 2 答案 x+2y-5=0 5.已知点 A(1,-2),B(m,2),且线段 AB 的垂直*分线的方程是 x+2y-2=0,则实数 m 的值是________. 解析 由已知条件可知线段 AB 的中点? 线方程,解得 m=3.

?1+m,0?在直线 x+2y-2=0 上, 把中点坐标代入直 ? ? 2 ?

答案 3 6.(2011·南通、扬州、泰州二模)若直线 ax-2y+2=0 与直线 x+(a-3)y+1=0 *行, 则实数 a 的值为________. 解析 由两直线*行的条件得 a(a-3)=-2, 解得 a=1 或 2, 经检验, a=2 时两直线重合, 所以两直线*行时,实数 a 的值为 1. 答案 1 1 1 7.已知 + =1(a>0,b>0),点(0,b)到直线 x-2y-a=0 的距离的最小值为________.

a b

解析 点(0, b)到直线 x-2y-a=0 的距离为 d= 1

a+2b
5



1

?1 1? 1 ? 2b a? (a+2b)? + ?= ?3+ + ? a b? ?a b? 5 5?



3 5+2 10 2+ 2 2 2 (3+2 2)= ,当 a =2b 且 a+b=ab,即 a=1+ 2,b= 时取等号. 5 2 5 3 5+2 10 5

答案

二、解答题(每小题 15 分,共 45 分) 8.求过直线 l1:x-2y+3=0 与直线 l2:2x+3y-8=0 的交点,且到点 P(0,4)距离为 2 的 直线方程. 解 由?
?x-2y+3=0, ? ?2x+3y-8=0, ?

得?

?x=1, ? ?y=2. ?

∴l1 与 l2 交点为(1,2), 设所求直线 y-2=k(x-1), 即 kx-y+2-k=0, ∵P(0,4)到直线距离为 2, |-2-k| 4 ∴2= ,∴k=0 或 k= . 2 3 1+k ∴直线方程为 y=2 或 4x-3y+2=0. 9.已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b 的值. (1)l1⊥l2,且直线 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解 (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0. 又∵直线 l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0. 故 a=2,b=2. (2)∵直线 l2 的斜率存在,l1∥l2,∴直线 l1 的斜率存在. ∴k1=k2,即 =1-a.

a b

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, 4 ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数,即 =b.

b

2 故 a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 10.一条光线经过 P(2,3)点,射在直线 l:x+y+1=0 上,反射后穿过 Q(1,1). (1)求光线的入射方程; (2)求这条光线从 P 到 Q 的长度. 解 (1)设点 Q′(x′,y′)为 Q 关于直线 l 的对称点且 QQ′交 l 于 M 点,由 kl=-1,得

kQQ′=1.
所以 QQ′所在直线方程为 y-1=1·(x-1) 即 x-y=0. 由?
?x+y+1=0, ? ? ?x-y=0,

1? ? 1 解得 l 与 QQ′的交点 M 的坐标为?- ,- ?. 2? ? 2 1+x′ 1 ? ? 2 =-2, 又因为 M 为 QQ′的中点,由此得? 1+y′ 1 ? 2 =-2. ? 解之得?
? ?x′=-2 ?y′=-2 ?

.所以 Q′(-2,-2).

设入射线与 l 交于点 N,且 P,N,Q′共线. 则 P(2,3),Q′(-2,-2),得入射线方程为

y+2 x+2

= ,即 5x-4y+2=0. 3+2 2+2 (2)因为 l 是 QQ′的垂直*分线,因而 NQ=NQ′. 所以 PN+NQ=PN+NQ′=PQ′ = +
2





2

= 41,

即这条光线从 P 到 Q 的长度是 41. B 级 综合创新备选 (时间:30 分钟 满分:60 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.若三条直线 l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4 不能围成三角形,则实数 m 的取值最多有________个.

解析

三条直线不能围成三角形,则至少有两条直线*行或三条直线相交于同一点.若 l1

1 ∥l2,则 m=4;若 l1∥l3,则 m=- ;若 l2∥l3,则 m 的值不存在;若三条直线相交于同一 6 2 点,则 m=-1 或 ,故实数 m 的取值最多有 4 个. 3 答案 4 2.若曲线 y=2x-x 在横坐标为-1 的点处的切线为 l,则点 P(3,2)到直线 l 的距离 d= ________. 解析 由题意得切点坐标为(-1,-1).切线斜率为 k=y′|x=-1=2-3×(-1) =-1,故 切线 l 的方程为 y-(-1)=-1[x-(-1)], 整理得 x+y+2=0, 由点到直线的距离公式得 点 P(3,2)到直线 l 的距离为 7 2 2 |3+2+2| 7 2 = . 2 2 2 1 +1
2 3

答案

3.若直线 m 被两*行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2,则 m 的倾斜角可以是 ①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°. 其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号). 解析 记直线 m 的倾斜角是 θ .由题意知直线 l1、 l2 间的距离等于 2 2 = 2.又直线 m 被直线 1 = ,直线 m 2 2 2 2

l1、l2 所截得的线段的长是 2 2,因此直线 m 与直线 l1 的夹角的正弦值等于

与直线 l1 的夹角是 30°,又直线 l1 的倾斜角是 45°,因此 θ =15°或 θ =75°,故正确 答案的序号是①⑤. 答案 ①⑤ 4.(2011·绍兴模拟)已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k y-4k -4=0 与两坐标轴围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为________. 解析 由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 4-k,直线 l2 的横截距为 1 1 2 2 2 2k +2, 所以四边形的面积 S= ×2×(4-k)+ ×4×(2k +2)=4k -k+8, 故面积最小时, 2 2
2 2

k= .
答案 1 8

1 8

5.(2011·济宁模拟)将一张坐标纸折叠一次,使点(10,0)与(-6,8)重合,则与点(-4,2) 重合的点是________.

解析 由条件, 以(10,0)和(-6,8)为端点的线段的垂直*分线方程为 y=2x, 则与点(-4,2) 重合的点即为求点(-4,2)关于直线 y=2x 的对称点,求得点为(4,-2). 答案 (4,-2) 6.(2010·湛江模拟)若 ab>0,且 A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小 值为________.

x y -2 解析 根据 A(a,0),B(0, b)确定直线的方程为 + =1,又 C(-2,-2)在该直线上,故 a b a
+ -2 = 1,所以- 2(a +b)=ab ,又 ab>0 ,故 a<0, b<0 ,根据基本不等式 ab=-2(a+

b

b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去)或 ab≥4,故 ab≥16,即 ab 的最小值为 16.
答案 16 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.过点 P(1,2)的直线 l 被两*行线 l1:4x+3y+1=0 与 l2:4x+3y+6=0 截得的线段长

AB= 2,求直线 l 的方程.
解 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-1), 由?
? ?y=kx+2-k, ?4x+3y+1=0, ? ?y=kx+2-k, ? ? ?4x+3y+6=0,

解得 A?

?3k-7,-5k+8?; ? ?3k+4 3k+4 ? ?3k-12,8-10k?. ? ? 3k+4 3k+4 ?

由?

解得 B?

∵AB= 2, ∴

? 5 ?2+? 5k ?2= 2, ?3k+4? ?3k+4? ? ? ? ?
2

整理,得 7k -48k-7=0, 1 解得 k1=7 或 k2=- . 7 因此,所求直线 l 的方程为 x+7y-15=0 或 7x-y-5=0. 8.过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段被点

P *分,求直线 l 的方程.
解 设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a),则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在

l2 上,
代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0, ∴a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上,又∵l 过点 P(0,1). 所以直线 l 的方程为 x+4y-4=0.


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